【向量组的维数是什么】在学习线性代数的过程中，我们经常遇到“向量组的维数”这一概念。它不仅关系到向量空间的结构，也影响着矩阵的秩、方程组的解等重要问题。那么，“向量组的维数”到底指的是什么？本文将从基本定义出发，结合实例进行总结，并通过表格形式清晰展示相关内容。
一、什么是向量组？
向量组是由若干个向量按一定顺序排列而成的集合。例如：
$$
\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}
$$
这些向量通常属于某个向量空间（如 $\mathbb{R}^n$）。
二、什么是向量组的维数？
“向量组的维数”实际上是指该向量组所张成的空间的维度，也就是这个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数。
换句话说，向量组的维数 = 向量组中线性无关向量的最大数目。
需要注意的是：
- 向量组本身没有维数，只有其张成的空间才有维数。
- 如果向量组是线性相关的，则其维数小于向量个数。
- 如果向量组是线性无关的，则其维数等于向量个数。
三、如何计算向量组的维数？
计算向量组的维数，通常需要以下步骤：
1. 将向量组写成矩阵的形式（每一列或每一行是一个向量）；
2. 对矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵；
3. 统计非零行的个数，即为该向量组的秩，也就是维数。
四、总结与对比
| 概念 | 定义 | 特点 |
| 向量组 | 若干个向量的集合 | 可能线性相关或无关 |
| 向量组的维数 | 向量组张成空间的维数 | 等于极大线性无关组中的向量个数 |
| 线性无关 | 向量之间无法由其他向量线性表示 | 维数等于向量个数 |
| 线性相关 | 存在至少一个向量可以由其他向量线性表示 | 维数小于向量个数 |
| 秩 | 矩阵中线性无关行（或列）的最大数目 | 等于向量组的维数 |
五、实例说明
设向量组为：
$$
\mathbf{v}_1 = (1, 0, 0),\quad \mathbf{v}_2 = (0, 1, 0),\quad \mathbf{v}_3 = (1, 1, 0)
$$
构造矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
对该矩阵进行行变换后得到：
$$
\text{行阶梯形矩阵} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
有2个非零行，因此该向量组的维数为2。
六、结论
“向量组的维数”并不是指向量组本身的数量，而是指其所张成空间的维度。理解这一概念有助于我们更好地分析线性方程组、矩阵的秩以及向量空间的结构。掌握如何求解向量组的维数，是学习线性代数的重要基础之一。
