在数学领域中，"收敛"是一个非常重要的概念，尤其是在分析学和数论中。所谓收敛函数，指的是一个函数在其定义域内某一点或无穷远处的值能够无限接近某个特定值。这个特定值被称为极限。
更具体地说，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在一个正数δ，使得当自变量x与某一固定值a的距离小于δ时，函数值f(x)与极限L的距离小于ε，则称函数f(x)在点a处收敛于L。用数学语言表示为：
lim (x→a) f(x) = L
这意味着随着x越来越接近a，f(x)也会越来越接近L。这里的"接近"是通过距离的概念来衡量的，即|f(x)-L|<ε。
此外，在讨论无穷远点上的收敛性时，我们通常考虑的是当x趋于无穷大时函数的行为。此时，我们需要找到一个N，使得当|x|>N时，|f(x)-L|<ε恒成立。
需要注意的是，并非所有函数都具有这样的性质。例如，分段函数可能在某些点上不连续，从而无法满足收敛条件。因此，在研究具体的函数时，必须仔细检查其定义域内的每一点是否满足上述定义。
总之，理解收敛函数的定义不仅有助于深入掌握微积分的基础知识，而且在实际应用中也起着关键作用，比如用于描述物理现象中的渐近行为或者优化算法中的稳定状态等。
